यदि f(x) = intlimits_0^x {{e^t}{{sin }^{ - 1} | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x {{e^t}{{\sin }^{ - 1}}(t - 1)\ln t\,dt}$.कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f^\prime(x) = e^x \sin^{-1}(x-1) \ln

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$f(x)$ एक वर्धमान फलन है

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(B) दिया गया है $f(x) = \int\limits_0^x {{e^t}{{\sin }^{ - 1}}(t - 1)\ln t\,dt}$.कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$f^\prime(x) = e^x \sin^{-1}(x-1) \ln x$.$f(x)$ का प्रांत समाकल्य के प्रांत द्वारा निर्धारित होता है: $x > 0$ और $-1 \leq x-1 \leq 1$,जिसका अर्थ है $x \in (0, 2]$.अब,अंतराल $(0, 2]$ में $f^\prime(x)$ का चिह्न जाँचते हैं:$1$. सभी $x$ के लिए $e^x > 0$ है।$2$. $x \in (0, 1)$ के लिए $\ln x  0$ है।$3$. $x \in (0, 1)$ के लिए $\sin^{-1}(x-1)  0$ है।$x \in (0, 1)$ के लिए: $f^\prime(x) = (+) \cdot (-) \cdot (-) = (+) > 0$.$x \in (1, 2]$ के लिए: $f^\prime(x) = (+) \cdot (+) \cdot (+) = (+) > 0$.$x = 1$ पर,$f^\prime(1) = 0$ है। चूंकि सभी $x \in (0, 2]$ के लिए $f^\prime(x) \geq 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एक वर्धमान फलन है।

यदि $f(x) = \int\limits_0^x {{e^t}{{\sin }^{ - 1}}(t - 1)\ln t\,dt}$ जहाँ $x > 0$,तो:

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वह सबसे लंबा अंतराल क्या है जिसमें फलन $f(x) = 3\sin x - 4\sin^3 x$ एक वर्धमान फलन है?

फलन $f(x) = \cos x - 2px$ किस मान के लिए एकदिष्ट ह्रासमान (monotonically decreasing) है?

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सिद्ध कीजिए कि $f(x) = \cos x$ द्वारा प्रदत्त फलन $(0, \pi)$ में ह्रासमान है।

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