एक वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{2} \text{ cm}$ है। यह $2 \text{ cm}$ लंबाई की एक जीवा द्वारा दो वृत्तखंडों में विभाजित होता है। सिद्ध कीजिए कि दीर्घ वृत्तखंड में स्थित किसी बिंदु पर जीवा द्वारा अंतरित कोण $45^{\circ}$ है।
(N/A) माना वृत्त का केंद्र $O$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2} \text{ cm}$ है। माना $BC$ लंबाई $2 \text{ cm}$ की जीवा है।
$OB$ और $OC$ को मिलाइए। $\triangle OBC$ में,हमारे पास $OB = OC = \sqrt{2} \text{ cm}$ और $BC = 2 \text{ cm}$ है।
जाँच कीजिए कि क्या $\triangle OBC$ एक समकोण त्रिभुज है:
$OB^2 + OC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.
$BC^2 = (2)^2 = 4$.
चूँकि $OB^2 + OC^2 = BC^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,$\angle BOC = 90^{\circ}$ है।
वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$।
अतः,यह सिद्ध होता है कि दीर्घ वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण $45^{\circ}$ है।
$OB$ और $OC$ को मिलाइए। $\triangle OBC$ में,हमारे पास $OB = OC = \sqrt{2} \text{ cm}$ और $BC = 2 \text{ cm}$ है।
जाँच कीजिए कि क्या $\triangle OBC$ एक समकोण त्रिभुज है:
$OB^2 + OC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.
$BC^2 = (2)^2 = 4$.
चूँकि $OB^2 + OC^2 = BC^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार,$\angle BOC = 90^{\circ}$ है।
वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$।
अतः,यह सिद्ध होता है कि दीर्घ वृत्तखंड में जीवा द्वारा अंतरित कोण $45^{\circ}$ है।
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