एक कक्षा में $15$ छात्र हैं जिनकी आयु $14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19$ और $20$ वर्ष है। एक छात्र को इस प्रकार चुना जाता है कि प्रत्येक के चुने जाने की समान संभावना हो और चुने गए छात्र की आयु $X$ दर्ज की जाती है। यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता वितरण क्या है? $X$ का माध्य,प्रसरण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

(A) कक्षा में कुल $15$ छात्र हैं। प्रत्येक छात्र के चुने जाने की समान संभावना है। इसलिए,प्रत्येक छात्र के चुने जाने की प्रायिकता $\frac{1}{15}$ है। आयु का बारंबारता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$
$f$	$2$	$1$	$2$	$3$	$1$	$2$	$3$	$1$

प्रायिकता वितरण $P(X)$ इस प्रकार है:

$X$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$
$P(X)$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{15}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{3}{15}$	$\frac{1}{15}$

माध्य $E(X) = \sum X_i P(X_i) = \frac{1}{15}(14 \times 2 + 15 \times 1 + 16 \times 2 + 17 \times 3 + 18 \times 1 + 19 \times 2 + 20 \times 3 + 21 \times 1) = \frac{263}{15} \approx 17.53$.
वर्गों का माध्य $E(X^2) = \sum X_i^2 P(X_i) = \frac{1}{15}(196 \times 2 + 225 \times 1 + 256 \times 2 + 289 \times 3 + 324 \times 1 + 361 \times 2 + 400 \times 3 + 441 \times 1) = \frac{4683}{15} = 312.2$.
प्रसरण $(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 312.2 - (17.5333)^2 = 312.2 - 307.4177 = 4.7823 \approx 4.78$.
मानक विचलन $= \sqrt{\text{प्रसरण}} = \sqrt{4.7823} \approx 2.19$.