एक फलन y=f(x),f(x) sin 2x + sin x - (1 + cos^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \cos^2 x) \frac{dy}{dx} - (\sin 2x) y = \sin x$ है।$(1 + \cos^2 x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \left( \frac{\

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $(1 + \cos^2 x) \frac{dy}{dx} - (\sin 2x) y = \sin x$ है।$(1 + \cos^2 x)$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \left( \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} \right) y = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x}$ और $Q(x) = \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{\sin 2x}{1 + \cos^2 x} dx}$ है।माना $u = 1 + \cos^2 x$,तो $du = -2 \cos x \sin x dx = -\sin 2x dx$ होगा।अतः,$I.F. = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln(u)} = 1 + \cos^2 x$ प्राप्त होता है।व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ है।$y(1 + \cos^2 x) = \int \left( \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \right) (1 + \cos^2 x) dx = \int \sin x dx = -\cos x + C$।चूँकि $f(0) = 0$ दिया गया है,$x = 0$ रखने पर,$y(1 + \cos^2 0) = -\cos 0 + C \implies 0(2) = -1 + C \implies C = 1$।इस प्रकार,$y(1 + \cos^2 x) = 1 - \cos x$ प्राप्त होता है।$x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर,$y(1 + \cos^2 \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos \frac{\pi}{2} \implies y(1 + 0) = 1 - 0 \implies y = 1$।

एक फलन $y=f(x)$,$f(x) \sin 2x + \sin x - (1 + \cos^2 x) f'(x) = 0$ को $f(0) = 0$ शर्त के साथ संतुष्ट करता है। तो $f(\frac{\pi}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f$ एक अवकलनीय फलन है जहाँ $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ है। यदि $y^{\prime}+y f^{\prime}(x)-f(x) f^{\prime}(x)=0$ और $\lim _{x \rightarrow \infty} y(x)=0$ है, तो:

अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y = 3$ का हल किस परिवार को निरूपित करता है?

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