एक फलन f(x) किसी वास्तविक संख्या c (c 1) और | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{1}^{c} \frac{f(x)}{x} dx$. हम समाकलन को $I = \int_{1}^{\sqrt{c}} \frac{f(x)}{x} dx + \int_{\sqrt{c}}^{c} \frac{f(x)}{x} dx$ के रूप

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$6$

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(D) माना $I = \int_{1}^{c} \frac{f(x)}{x} dx$. हम समाकलन को $I = \int_{1}^{\sqrt{c}} \frac{f(x)}{x} dx + \int_{\sqrt{c}}^{c} \frac{f(x)}{x} dx$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं। दूसरे समाकलन के लिए,माना $x = \frac{c}{u}$. तब $dx = -\frac{c}{u^2} du$. जब $x = \sqrt{c}$,तब $u = \sqrt{c}$,और जब $x = c$,तब $u = 1$. अतः,$\int_{\sqrt{c}}^{c} \frac{f(x)}{x} dx = \int_{\sqrt{c}}^{1} \frac{f(c/u)}{c/u} (-\frac{c}{u^2}) du = \int_{1}^{\sqrt{c}} \frac{f(c/u)}{c/u} \frac{c}{u^2} du = \int_{1}^{\sqrt{c}} \frac{f(u)}{u} du$. चूंकि $f(x) = f(c/x)$,इसलिए $\int_{\sqrt{c}}^{c} \frac{f(x)}{x} dx = \int_{1}^{\sqrt{c}} \frac{f(u)}{u} du = 3$. अतः,$I = 3 + 3 = 6$.

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