एक पहाड़ी $500 \, m$ ऊँची है। पहाड़ी के पार आपूर्ति भेजने के लिए एक तोप का उपयोग किया जाता है जो $125 \, m/s$ की गति से पैकेट फेंक सकती है। तोप पहाड़ी के आधार से $800 \, m$ की दूरी पर स्थित है और इसे जमीन पर $2 \, m/s$ की गति से ले जाया जा सकता है; ताकि पहाड़ी से इसकी दूरी को समायोजित किया जा सके। पहाड़ी के दूसरी ओर जमीन पर पैकेट पहुँचने में लगने वाला न्यूनतम समय क्या है? $g = 10 \, m/s^2$ लें।
(D) दिया गया है: पैकेट की गति $u = 125 \, m/s$,पहाड़ी की ऊँचाई $h = 500 \, m$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$.
पहाड़ी को पार करने के लिए,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y$ को $u_y^2 = 2gh$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
$u_y = \sqrt{2 \times 10 \times 500} = 100 \, m/s$.
वेग का क्षैतिज घटक $u_x = \sqrt{u^2 - u_y^2} = \sqrt{125^2 - 100^2} = \sqrt{5625} = 75 \, m/s$.
पहाड़ी की चोटी तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = u_y / g = 100 / 10 = 10 \, s$.
चोटी से जमीन पर गिरने में लगा समय $t_2 = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \times 500 / 10} = 10 \, s$.
कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2 = 10 + 10 = 20 \, s$.
उड़ान के दौरान पैकेट द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x = u_x \times T = 75 \times 20 = 1500 \, m$.
चूंकि तोप शुरू में पहाड़ी से $800 \, m$ दूर है,और पैकेट $1500 \, m$ क्षैतिज दूरी तय करता है,तोप को इस तरह से स्थानांतरित किया जाना चाहिए कि पैकेट पहाड़ी के दूसरी तरफ जमीन पर गिरे।
आवश्यक क्षैतिज दूरी $x_{req} = 1500 \, m$ है। तोप वर्तमान में $800 \, m$ दूर है,इसलिए इसे $700 \, m$ पहाड़ी के करीब ले जाना होगा।
स्थानांतरण में लगा समय $t_{move} = 700 / 2 = 350 \, s$.
कुल समय $= t_{move} + T = 350 + 20 = 370 \, s$.
पहाड़ी को पार करने के लिए,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y$ को $u_y^2 = 2gh$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
$u_y = \sqrt{2 \times 10 \times 500} = 100 \, m/s$.
वेग का क्षैतिज घटक $u_x = \sqrt{u^2 - u_y^2} = \sqrt{125^2 - 100^2} = \sqrt{5625} = 75 \, m/s$.
पहाड़ी की चोटी तक पहुँचने में लगा समय $t_1 = u_y / g = 100 / 10 = 10 \, s$.
चोटी से जमीन पर गिरने में लगा समय $t_2 = \sqrt{2h/g} = \sqrt{2 \times 500 / 10} = 10 \, s$.
कुल उड़ान का समय $T = t_1 + t_2 = 10 + 10 = 20 \, s$.
उड़ान के दौरान पैकेट द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x = u_x \times T = 75 \times 20 = 1500 \, m$.
चूंकि तोप शुरू में पहाड़ी से $800 \, m$ दूर है,और पैकेट $1500 \, m$ क्षैतिज दूरी तय करता है,तोप को इस तरह से स्थानांतरित किया जाना चाहिए कि पैकेट पहाड़ी के दूसरी तरफ जमीन पर गिरे।
आवश्यक क्षैतिज दूरी $x_{req} = 1500 \, m$ है। तोप वर्तमान में $800 \, m$ दूर है,इसलिए इसे $700 \, m$ पहाड़ी के करीब ले जाना होगा।
स्थानांतरण में लगा समय $t_{move} = 700 / 2 = 350 \, s$.
कुल समय $= t_{move} + T = 350 + 20 = 370 \, s$.
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