एक प्रक्षेप्य को क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर इस प्रकार प्रक्षेपित किया जाता है कि उसके प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $80\,m/s$ है। इसका उड्डयन काल $T$ है। $t=\frac{T}{4}$ पर इसके वेग का परिमाण लगभग $........\,m/s$ है।

एक इकाई त्रिज्या का घर्षण रहित वृत्ताकार तार क्षैतिज तल पर स्थिर है। इकाई द्रव्यमान के दो बिंदु कण बिंदु $A(\theta = \pi/2)$ से समान कोणीय चाल के साथ विपरीत दिशाओं में चलना शुरू करते हैं, और बिंदु $B(\theta = -\pi/2)$ पर पुनः मिलते हैं। इस दौरान, निम्नलिखित में से कौन सा चित्र $\theta$ के फलन के रूप में निकाय के कुल रैखिक संवेग $P$ के परिमाण को योजनाबद्ध रूप से दर्शाता है?

एक कार $72 \, km/hr$ की गति से चल रही है। इसके पहियों का व्यास $0.5 \, m$ है। यदि ब्रेक लगाकर पहियों को $20$ चक्करों में रोक दिया जाता है,तो ब्रेक द्वारा उत्पन्न कोणीय मंदन ............ $rad/s^2$ है। ($.5$ में)

मान लीजिए कि $u_x$ = प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक, $u_y$ = प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक, $R$ = क्षैतिज परास, $T$ = उड़ान का समय और $H$ = प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई है। निम्नलिखित दो स्तंभों का मिलान करें:

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ $u_x$ दोगुना हो जाता है, $u_y$ आधा हो जाता है	$(p)$ $H$ अपरिवर्तित रहेगा
$(B)$ $u_y$ दोगुना हो जाता है, $u_x$ आधा हो जाता है	$(q)$ $R$ अपरिवर्तित रहेगा
$(C)$ $u_x$ और $u_y$ दोनों दोगुने हो जाते हैं	$(r)$ $R$ चार गुना हो जाएगा
$(D)$ केवल $u_y$ दोगुना हो जाता है	$(s)$ $H$ चार गुना हो जाएगा

समतल में द्विविमीय गति का अध्ययन स्थिति,वेग और त्वरण को कार्तीय निर्देशांकों में $\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$ के रूप में व्यक्त करके किया जा सकता है,जहाँ $\hat{i}$ और $\hat{j}$ क्रमशः $x$ और $y$ दिशाओं में इकाई सदिश हैं और $A_{x}$ और $A_{y}$ $\vec{A}$ के संगत घटक हैं। गति का अध्ययन वृत्तीय ध्रुवीय निर्देशांकों में सदिशों को $\vec{A} = A_{r} \hat{r} + A_{\theta} \hat{\theta}$ के रूप में व्यक्त करके भी किया जा सकता है,जहाँ $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ और $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ उन दिशाओं में इकाई सदिश हैं जिनमें $r$ और $\theta$ बढ़ रहे हैं।
$(a)$ $\hat{i}$ और $\hat{j}$ को $\hat{r}$ और $\hat{\theta}$ के पदों में व्यक्त कीजिए।
$(b)$ दर्शाइए कि $\hat{r}$ और $\hat{\theta}$ दोनों इकाई सदिश हैं और एक-दूसरे के लंबवत हैं।
$(c)$ दर्शाइए कि $\frac{d}{dt}(\hat{r}) = \omega \hat{\theta}$,जहाँ $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ और $\frac{d}{dt}(\hat{\theta}) = -\omega \hat{r}$ है।
$(d)$ $\vec{r} = a\theta \hat{r}$ द्वारा दी गई सर्पिल गति करने वाले कण के लिए,जहाँ $a = 1$ (इकाई),$a$ की विमा ज्ञात कीजिए।
$(e)$ $(d)$ में वर्णित सर्पिल पथ पर गति करने वाले कण के लिए ध्रुवीय सदिश निरूपण में वेग और त्वरण ज्ञात कीजिए।

$R$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर एक कण और वृत्त पर स्थित एक बिंदु $Q$ पर दूसरा कण,एक ही समय पर वृत्त के एक बिंदु $P$ की ओर चलना शुरू करते हैं (नीचे दी गई आकृति देखें)। दोनों क्रमशः समान वेग $\vec{V}_1$ और $\vec{V}_2$ के साथ गति करते हैं। वे एक ही समय पर बिंदु $P$ पर पहुँचते हैं। यदि वेगों के बीच का कोण $\theta$ है और केंद्र पर $P$ और $Q$ द्वारा अंतरित कोण $\phi$ है (जैसा कि आकृति में दिखाया गया है),तो: