ell लंबाई का एक लंबा कठोर एकसमान तार एक सिरे | vedclass

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Question

(D) भौतिक लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धुरी (pivot) के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$m$ द्रव्यमान है,$

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$\sqrt{\frac{3}{2 \pi}} T$

Vedclass · Answer

(D) भौतिक लोलक के लिए,आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ धुरी (pivot) के परितः जड़त्व आघूर्ण है,$m$ द्रव्यमान है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $d$ धुरी से द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ तक की दूरी है।एक सिरे से लटके $\ell$ लंबाई के छड़ के लिए:$I = \frac{m\ell^2}{3}$ और $d = \frac{\ell}{2}$.$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m\ell^2/3}{mg\ell/2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2\ell}{3g}} \quad \dots(i)$जब तार को $R$ त्रिज्या के वृत्त में मोड़ा जाता है,तो परिधि $\ell = 2 \pi R$ होती है,इसलिए $R = \frac{\ell}{2 \pi}$.परिधि पर एक बिंदु से लटकी रिंग के लिए,धुरी के परितः जड़त्व आघूर्ण $I' = I_{cm} + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2$ है (समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके)।धुरी से $COM$ तक की दूरी $d' = R$ है।$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{2mR^2}{mgR}} = 2 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}} \quad \dots(ii)$$R = \frac{\ell}{2 \pi}$ को $(ii)$ में रखने पर:$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{2}{g} \cdot \frac{\ell}{2 \pi}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{\pi g}}$.$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:$\frac{T'}{T} = \frac{2 \pi \sqrt{2R/g}}{2 \pi \sqrt{2\ell/3g}} = \sqrt{\frac{2R}{g} \cdot \frac{3g}{2\ell}} = \sqrt{\frac{3R}{\ell}} = \sqrt{\frac{3(\ell/2\pi)}{\ell}} = \sqrt{\frac{3}{2 \pi}}$.अतः,$T' = \sqrt{\frac{3}{2 \pi}} T$.

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