एक व्यक्ति चार पेपरों की परीक्षा देता है,जिसम | vedclass

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Question

(C) चार पेपरों में कुल $2m$ अंक प्राप्त करने के तरीकों की संख्या,जहाँ प्रत्येक पेपर में अधिकतम $m$ अंक हैं,$(x^0 + x^1 + \dots + x^m)^4$ के विस्तार मे

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{3}(m + 1)(2m^2 + 4m + 3)$

Vedclass · Answer

(C) चार पेपरों में कुल $2m$ अंक प्राप्त करने के तरीकों की संख्या,जहाँ प्रत्येक पेपर में अधिकतम $m$ अंक हैं,$(x^0 + x^1 + \dots + x^m)^4$ के विस्तार में $x^{2m}$ का गुणांक है।यह $\left(\frac{1 - x^{m+1}}{1 - x}\right)^4$ में $x^{2m}$ के गुणांक के बराबर है।$= (1 - x^{m+1})^4 (1 - x)^{-4}$ में $x^{2m}$ का गुणांक।$= (1 - 4x^{m+1} + 6x^{2m+2} - \dots) \left(\sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+3}{3} x^r\right)$ में $x^{2m}$ का गुणांक।$= \binom{2m+3}{3} - 4 \binom{m+2}{3} = \frac{(2m+3)(2m+2)(2m+1)}{6} - 4 \frac{(m+2)(m+1)m}{6}$.सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{(m+1)(2m^2 + 4m + 3)}{3}$.

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$\left( \frac{x + 1}{x^{2/3} - x^{1/3} + 1} - \frac{x - 1}{x - x^{1/2}} \right)^{10}$ के विस्तार में,वह पद जिसमें $x$ नहीं है,है:

मान लीजिए कि $(1 + x + ax^2)^{10}$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक $K$ है। $a$ का वह मान क्या है जो $K$ को न्यूनतम करता है?

यदि $\left(\frac{2p}{3} + \frac{3q}{2}\right)^9$ के विस्तार में $6^{th}$ पद $ap^bq^c$ है,तो $a, b$ और $c$ क्रमशः क्या हैं?

यदि $(3+7x)^{29}$ के विस्तार में $r$ वें और $(r+1)$ वें पदों के गुणांक समान हैं,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

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