શૂન્ય સદિશ પાસે શું હોય છે?

જો $\vec{r} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$,અને $\vec{c} = -2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ હોય અને $\vec{r} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{b} + \gamma\vec{c}$ હોય,તો -

જો $P(2, 3, 1)$ અને $Q(7, 15, 1)$ હોય,તો $|\overrightarrow{PQ}| = \dots$

$I$. બે શૂન્યતર, અસમરેખ સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
$II$. કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો સુરેખ રીતે પરતંત્ર છે.
ઉપરોક્તમાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?

એક છોકરી પશ્ચિમ દિશામાં $4 \, km$ ચાલે છે,ત્યારબાદ તે ઉત્તરથી $30^{\circ}$ પૂર્વ દિશામાં $3 \, km$ ચાલે છે અને અટકી જાય છે. તેના પ્રારંભિક બિંદુથી છોકરીનું સ્થાનાંતર શોધો.

જો $A(2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$, $B(\lambda \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k})$, $C(-4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$ અને $D(-\hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k})$ અવકાશમાં એવા ચાર બિંદુઓ છે કે જેથી $\overrightarrow{AB} = x \overrightarrow{AC} + y \overrightarrow{AD}$ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \neq 0, y \neq 0$ માટે થાય, તો $17(\lambda + 9) =$ ?