कथनों के बीच:(S1): 2023^{2022} - 1999^{2022}, | vedclass

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Question

(C) $(S1)$ के लिए: मान लीजिए $a = 2023$ और $b = 1999$ है। ध्यान दें कि $a \equiv 7 \pmod{8}$ और $b \equiv 7 \pmod{8}$ है।तब $a^{2022} \equiv 7^{2022}

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$(S1)$ और $(S2)$ दोनों सही हैं

Vedclass · Answer

(C) $(S1)$ के लिए: मान लीजिए $a = 2023$ और $b = 1999$ है। ध्यान दें कि $a \equiv 7 \pmod{8}$ और $b \equiv 7 \pmod{8}$ है।तब $a^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$ और $b^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$ होगा।चूंकि $7 \equiv -1 \pmod{8}$,इसलिए $7^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$ है।अतः,$2023^{2022} - 1999^{2022} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$ है। इसलिए,$(S1)$ सही है।$(S2)$ के लिए: मान लीजिए $f(n) = 13(13^{n}) - 11n - 13 = 13^{n+1} - 11n - 13$ है।द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$13^{n+1} = (1 + 12)^{n+1} = 1 + (n+1)12 + \binom{n+1}{2}12^2 + \dots = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$अतः,$f(n) = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots - 11n - 13 = n + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$$f(n)$ के $144$ से विभाज्य होने के लिए,$n$ को $144$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि ऐसे अनंत $n \in N$ मौजूद हैं,इसलिए $(S2)$ सही है।

कथनों के बीच:
$(S1):$ $2023^{2022} - 1999^{2022}$,$8$ से विभाज्य है।
$(S2):$ $13(13^{n}) - 11n - 13$,अनंत $n \in N$ के लिए $144$ से विभाज्य है।

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कथनों के बीच:$(S1):$ $2023^{2022} - 1999^{2022}$,$8$ से विभाज्य है।$(S2):$ $13(13^{n}) - 11n - 13$,अनंत $n \in N$ के लिए $144$ से विभाज्य है।