વિધાનો પૈકી:(S1): 2023^{2022} - 1999^{2022} એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) $(S1)$ માટે: ધારો કે $a = 2023$ અને $b = 1999$. નોંધો કે $a \equiv 7 \pmod{8}$ અને $b \equiv 7 \pmod{8}$.તેથી $a^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$

Vedclass · Accepted Answer

બંને $(S1)$ અને $(S2)$ સાચા છે

Vedclass · Answer

(C) $(S1)$ માટે: ધારો કે $a = 2023$ અને $b = 1999$. નોંધો કે $a \equiv 7 \pmod{8}$ અને $b \equiv 7 \pmod{8}$.તેથી $a^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$ અને $b^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$.કારણ કે $7 \equiv -1 \pmod{8}$,$7^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$.આમ,$2023^{2022} - 1999^{2022} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.$(S2)$ માટે: ધારો કે $f(n) = 13(13^{n}) - 11n - 13 = 13^{n+1} - 11n - 13$.દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$13^{n+1} = (1 + 12)^{n+1} = 1 + (n+1)12 + \binom{n+1}{2}12^2 + \dots = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$તેથી,$f(n) = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots - 11n - 13 = n + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$$f(n)$ એ $144$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,$n$ એ $144$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. આવા અસંખ્ય $n \in N$ હોવાથી,$(S2)$ સાચું છે.

વિધાનો પૈકી:
$(S1):$ $2023^{2022} - 1999^{2022}$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(S2):$ $13(13^{n}) - 11n - 13$ એ અસંખ્ય $n \in N$ માટે $144$ વડે વિભાજ્ય છે.

Similar Questions

જો $a, b$ અને $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ હોય, તો $a^{2n-1} + b^{2n-1}$ હંમેશા કોના વડે વિભાજ્ય છે?

સંખ્યા $(101)^{100}-1$ એ નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?

ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે, $n^{3} + 2n$ હંમેશા કોના વડે વિભાજ્ય છે?

જો $k \in N$ હોય,તો $3^{3k} - 26k - 1$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module

વિધાનો પૈકી:$(S1):$ $2023^{2022} - 1999^{2022}$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.$(S2):$ $13(13^{n}) - 11n - 13$ એ અસંખ્ય $n \in N$ માટે $144$ વડે વિભાજ્ય છે.