ધન પૂર્ણાંક n માટે, n^{3} + 2n હંમેશા કોના વડ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $f(n) = n^{3} + 2n$. આપણે તેને $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ તરીકે લખી શકીએ. અહીં, $(n-1)n(n+1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુ

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $f(n) = n^{3} + 2n$. આપણે તેને $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ તરીકે લખી શકીએ. અહીં, $(n-1)n(n+1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે, જે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે. જોકે, પદાવલિ $n^{3} + 2n$ ખાસ કરીને $3$ વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ $n^{3} \equiv n \pmod{3}$, તેથી $n^{3} + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}$. કિંમતો ચકાસતા: $n=1$ માટે, $1^{3} + 2(1) = 3$ ($3$ વડે વિભાજ્ય). $n=2$ માટે, $2^{3} + 2(2) = 12$ ($3$ વડે વિભાજ્ય). $n=3$ માટે, $3^{3} + 2(3) = 33$ ($3$ વડે વિભાજ્ય). આમ, તે હંમેશા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.

ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે, $n^{3} + 2n$ હંમેશા કોના વડે વિભાજ્ય છે?

Similar Questions

જો $[x]$ એ $x$ માટે મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવતું હોય,તો $\left[(2+\sqrt{3})^5\right]$ ના ધન પૂર્ણાંક ભાજકોની સંખ્યા કેટલી થાય?

કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$(15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$ એ નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?

$\sqrt {\underbrace {111........1}_{200\,\text{અંક}} - \underbrace {222.......2}_{100\,\text{અંક}}} $ ની કિંમત શોધો :-

દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,$n(n^2 - 1)$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

$n = 1, 2, 3, \ldots$ માટે સંખ્યાઓ $a_n = 6^n - 5n$ ને $25$ વડે ભાગતા મળતી શેષ કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module