$0$ से $9$ तक के अंकों का उपयोग करके और अंकों को दोहराए बिना $9$ से विभाज्य आठ अंकों की एक संख्या बनानी है। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है ($(7!)$ में)?

$7$ व्यंजनों और $4$ स्वरों में से, ऐसे शब्द बनाए जाते हैं जिनमें प्रत्येक में $3$ व्यंजन और $2$ स्वर हों। ऐसे कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

$0, 3, 6, 9$ अंकों का उपयोग करके बिना दोहराव के बनने वाली सभी $4$-अंकीय संख्याओं का योग क्या है?

एक बॉक्स में $5$ नीली, $6$ पीली और $4$ लाल गेंदें हैं। $8$ गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें प्रत्येक रंग की कम से कम दो गेंदें हों:

मान लीजिए $m = (9n^2 + 54n + 80)(9n^2 + 45n + 54)(9n^2 + 36n + 35)$ है। वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक जो सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $m$ को विभाजित करता है,है:

मान लीजिए $n \geq 3$ एक पूर्णांक है। $(1, 2, \ldots, n)$ के क्रमचय $\sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ के लिए,हम $f_\sigma(x) = a_n x^{n-1} + a_{n-1} x^{n-2} + \ldots + a_2 x + a_1$ को परिभाषित करते हैं। मान लीजिए $S_\sigma$ समीकरण $f_\sigma(x) = 0$ के मूलों का योग है और $S$ उन सभी क्रमचयों $\sigma$ पर $S_\sigma$ के मानों का योग दर्शाता है। तो,