एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार पात्र में बंद एक आदर्श गैस $M$ द्रव्यमान के स्वतंत्र रूप से चलने वाले पिस्टन को सहारा देती है। पिस्टन और बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ समान है। जब पिस्टन संतुलन में होता है, तो गैस का आयतन $V_0$ और उसका दाब $P_0$ होता है। पिस्टन को संतुलन स्थिति से थोड़ा विस्थापित करके छोड़ दिया जाता है। यह मानते हुए कि निकाय अपने परिवेश से पूरी तरह से अलग है, पिस्टन किस आवृत्ति के साथ सरल आवर्त गति करता है?

  • A
    $\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{MV_0}{A\gamma P_0}}$
  • B
    $\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{A\gamma P_0}{V_0M}}$
  • C
    $\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{A^2\gamma P_0}{MV_0}}$
  • D
    $\frac{1}{2\pi}\frac{V_0MP_0}{A^2\gamma}$

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स्तंभ $I$ में कुछ प्रयोगों में मापे गए मापदंडों के संभावित सेट की सूची दी गई है। स्तंभ $II$ में ग्राफ के रूप में मापदंडों के परिवर्तन दिखाए गए हैं। स्तंभ $I$ में दिए गए मापदंडों के सेट को स्तंभ $II$ में दिए गए ग्राफ के साथ मिलाएं।
स्तंभ $I$ स्तंभ $II$
$(A)$ सरल लोलक की स्थितिज ऊर्जा ($y$-अक्ष) बनाम विस्थापन ($x$-अक्ष) $(p)$ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलयाकार वक्र
$(B)$ शून्य या निरंतर त्वरण के साथ एक-आयामी गति के लिए विस्थापन ($y$-अक्ष) बनाम समय ($x$-अक्ष) $(q)$ मूल बिंदु से गुजरने वाला रैखिक ग्राफ
$(C)$ एक निश्चित कोण पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य की परास ($y$-अक्ष) बनाम उसका वेग ($x$-अक्ष) $(r)$ गैर-शून्य अंतःखंड वाला रैखिक ग्राफ
$(D)$ सरल लोलक के आवर्तकाल का वर्ग ($y$-अक्ष) बनाम उसकी लंबाई ($x$-अक्ष) $(s)$ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलयाकार वक्र (मूल बिंदु से शुरू)

सरल आवर्त गति कर रही एक वस्तु का अधिकतम त्वरण $24 \, m/s^2$ और अधिकतम वेग $16 \, m/s$ है। सरल आवर्त गति का आयाम क्या है?

स्तंभ $I$ में कुछ स्थितियाँ दी गई हैं जिनमें एक छोटी वस्तु गति करती है। स्तंभ $II$ इन गतियों की कुछ विशेषताओं का वर्णन करता है। स्तंभ $I$ की स्थिति को स्तंभ $II$ की विशेषताओं के साथ सुमेलित करें।
स्तंभ $I$स्तंभ $II$
$(A)$ वस्तु $x$-अक्ष पर एक संरक्षी बल के अंतर्गत इस प्रकार गति करती है कि उसकी चाल $v = c_1 \sqrt{c_2 - x^2}$ है,जहाँ $c_1, c_2 > 0$ है।$(p)$ वस्तु सरल आवर्त गति करती है।
$(B)$ वस्तु $x$-अक्ष पर इस प्रकार गति करती है कि उसका वेग $v = -kx$ है,जहाँ $k > 0$ है।$(q)$ वस्तु अपनी दिशा नहीं बदलती है।
$(C)$ एक वस्तु लिफ्ट में स्प्रिंग से जुड़ी है जो $a$ त्वरण से ऊपर जा रही है। लिफ्ट से गति का अवलोकन किया जाता है।$(r)$ वस्तु की गतिज ऊर्जा लगातार घटती जाती है।
$(D)$ वस्तु को $2 \sqrt{GM_e / R_e}$ की चाल से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है।$(s)$ वस्तु केवल एक बार अपनी दिशा बदल सकती है।

एक क्षैतिज बोर्ड $0.3 \ m$ के आयाम और $4 \ s$ के आवर्तकाल के साथ क्षैतिज रूप से सरल आवर्त गति कर रहा है। यदि बोर्ड पर रखे गए भारी पिंड को फिसलना नहीं है,तो बोर्ड और पिंड के बीच घर्षण का न्यूनतम गुणांक क्या होगा?

एक क्षैतिज प्लेटफॉर्म जिस पर एक वस्तु रखी है,ऊर्ध्वाधर दिशा में $S.H.M.$ कर रहा है। दोलन का आयाम $3.92 \times 10^{-3} \, m$ है। इन दोलनों का न्यूनतम आवर्तकाल क्या होना चाहिए,ताकि वस्तु प्लेटफॉर्म से अलग न हो ($, s$ में)?

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