एक ऑर्थोगोनल (लंबकोणीय) आव्यूह है

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Question

(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ को ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है यदि $A'A = I = AA'$ हो,जहाँ $A'$ आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) है और $I$ तत्समक आव्यूह (ide

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$\begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$

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(B) एक वर्ग आव्यूह $A$ को ऑर्थोगोनल आव्यूह कहा जाता है यदि $A'A = I = AA'$ हो,जहाँ $A'$ आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose) है और $I$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है।मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.तब,परिवर्त आव्यूह $A' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$.$AA'$ की गणना करने पर:$AA' = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & -\cos \alpha \sin \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \ -\sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.इसी प्रकार,$A'A = I$ होता है।चूँकि $AA' = A'A = I$,इसलिए विकल्प $(b)$ में दिया गया आव्यूह एक ऑर्थोगोनल आव्यूह है।

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यदि एक वर्ग आव्यूह $A$ इस प्रकार है कि $\left(A^T-\frac{1}{2} I\right)\left(A-\frac{1}{2} I\right) = \left(A^T+\frac{1}{2} I\right)\left(A+\frac{1}{2} I\right) = I$,जहाँ $I$ एक इकाई आव्यूह है,तो $A$ है

किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$AA^T$ एक

यदि $A'$ और $B'$ क्रमशः वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के परिवर्त आव्यूह (transpose matrices) हैं,तो $(AB)'$ किसके बराबर है?

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के वर्ग आव्यूह हैं और $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है,तो $A^{\prime} B A$ है

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