$2L$ लंबाई और $m$ द्रव्यमान की एक समान पतली छड़ एक क्षैतिज मेज पर रखी है। छड़ के एक सिरे पर एक क्षैतिज आवेग (impulse) $J$ दिया जाता है। घर्षण नहीं है। आवेग के ठीक बाद छड़ की कुल गतिज ऊर्जा क्या होगी?

$0.5 \ m$ त्रिज्या और $10 \ kg \cdot m^2$ के जड़त्व आघूर्ण वाला एक पहिया $70 \ rev/min$ की कोणीय गति से स्वतंत्र रूप से घूम रहा है। पहिये की रिम पर एक गीला कपड़ा दबाकर और $88 \ N$ का त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर बल लगाकर इसे $5.0 \ s$ में रोका जा सकता है। पहिये और गीले कपड़े के बीच गतिज घर्षण गुणांक क्या है?

$R$ त्रिज्या और $m$ द्रव्यमान का एक खोखला गोला $m$ द्रव्यमान के पानी से पूरी तरह भरा हुआ है। यह एक क्षैतिज तल पर इस प्रकार लुढ़कता है कि इसका द्रव्यमान केंद्र $v$ वेग से चलता है। यदि यह शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) करता है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

$r$ त्रिज्या और $S$ विशिष्ट ऊष्मा वाले एक धातु के गोले को उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष पर $f$ चक्कर प्रति सेकंड की गति से घुमाया जाता है। इसे अचानक रोक दिया जाता है और इसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा का $50\%$ भाग इसके तापमान को बढ़ाने में उपयोग किया जाता है। तो गोले के तापमान में हुई वृद्धि है

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाली एक रिंग $v_0$ वेग से फिसलते हुए अचानक एक खुरदरी सतह पर प्रवेश करती है जहाँ घर्षण गुणांक $\mu$ है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। सही कथन/कथनों का चयन करें।

एक दृढ़ पिंड की सामान्य गति को $(i)$ द्रव्यमान केंद्र की एक अक्ष के परितः गति,और $(ii)$ द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली तात्क्षणिक अक्ष के परितः गति के संयोजन के रूप में माना जा सकता है। ये अक्षें स्थिर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए,एक पतली एकसमान डिस्क पर विचार करें जिसे चित्र में दिखाए अनुसार एक द्रव्यमान रहित छड़ के किनारे पर क्षैतिज रूप से वेल्ड (दृढ़ता से स्थिर) किया गया है। जब डिस्क-छड़ प्रणाली को एक क्षैतिज घर्षण रहित तल पर मूल बिंदु के परितः कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है,तो किसी भी क्षण गति को $(i)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र की $z$-अक्ष के परितः घूर्णन,और $(ii)$ डिस्क के द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली एक तात्क्षणिक ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः घूर्णन (जैसा कि बिंदुओं $P$ और $Q$ के बदले हुए अभिविन्यास से देखा जा सकता है) के संयोजन के रूप में लिया जा सकता है। इस मामले में दोनों गतियों की कोणीय चाल $\omega$ समान है। अब चित्र में दिखाई गई दो समान प्रणालियों पर विचार करें: स्थिति $(a)$ डिस्क का फलक ऊर्ध्वाधर और $x-z$ तल के समानांतर है; स्थिति $(b)$ डिस्क का फलक $x-y$ तल के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसका क्षैतिज व्यास $x$-अक्ष के समानांतर है। दोनों स्थितियों में,डिस्क को बिंदु $P$ पर वेल्ड किया गया है,और प्रणालियों को $z$-अक्ष के परितः स्थिर कोणीय चाल $\omega$ के साथ घुमाया जाता है।
$1.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के परितः कोणीय चाल के संबंध में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\frac{\omega}{\sqrt{2}}$ है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए $\omega$ है; और स्थिति $(b)$ के लिए $\sqrt{2} \omega$ है।
$(D)$ यह दोनों स्थितियों के लिए $\omega$ है।
$2.$ तात्क्षणिक अक्ष (द्रव्यमान केंद्र से गुजरने वाली) के बारे में निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यह दोनों स्थितियों $(a)$ और $(b)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है।
$(B)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल में स्थित है।
$(C)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए क्षैतिज है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
$(D)$ यह स्थिति $(a)$ के लिए ऊर्ध्वाधर है; और स्थिति $(b)$ के लिए $x-z$ तल से $45^{\circ}$ पर है और डिस्क के तल के लंबवत है।
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।