दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = | vedclass

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Question

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।चूँकि समीकरण में $x$ और $y$ की केवल सम घातें हैं,इसलिए दीर्घवृत्त $x$-अक्

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$\pi ab 	ext{ वर्ग इकाई}$

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(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।चूँकि समीकरण में $x$ और $y$ की केवल सम घातें हैं,इसलिए दीर्घवृत्त $x$-अक्ष और $y$-अक्ष दोनों के सापेक्ष सममित है।अतः,दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र $(OBC)$ के क्षेत्रफल का $4$ गुना होगा।क्षेत्रफल $= 4 \int_{0}^{a} y \, dx = 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$.माना $x = a \sin 	heta$,तब $dx = a \cos 	heta \, d	heta$. जब $x=0, 	heta=0$ और जब $x=a, 	heta=\frac{\pi}{2}$.क्षेत्रफल $= 4 \frac{b}{a} \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 	heta} \cdot a \cos 	heta \, d	heta = 4ab \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 	heta \, d	heta$.सर्वसमिका $\cos^2 	heta = \frac{1 + \cos 2	heta}{2}$ का उपयोग करने पर:क्षेत्रफल $= 4ab \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos 2	heta}{2} \, d	heta = 2ab \left[ 	heta + \frac{\sin 2	heta}{2} ight]_{0}^{\pi/2}$.क्षेत्रफल $= 2ab \left( (\frac{\pi}{2} + 0) - (0 + 0) ight) = \pi ab 	ext{ वर्ग इकाई}$.

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का क्षेत्रफल है

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$y = x^3 + ax$ (जहाँ $a > 0$), $x$-अक्ष और रेखाओं $x = -2$ तथा $x = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $\frac{37}{4}$ वर्ग इकाई है, तो:

प्रथम चतुर्थांश में $y^{2}=9x$,$x=2$,$x=4$ और $x$-अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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$y = 2\sqrt{1 - x^2}$ वक्र और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) . . . . . . है।

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