f: Z rightarrow Z દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય f( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ એ $f(x) = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.એક-એક માટે: ધારો કે $x, y \in Z$ માટે $f(x) = f(y)$.તેથી $x^{3} = y^{3}$. ઘનમ

Vedclass · Accepted Answer

એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f: Z ightarrow Z$ એ $f(x) = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.એક-એક માટે: ધારો કે $x, y \in Z$ માટે $f(x) = f(y)$.તેથી $x^{3} = y^{3}$. ઘનમૂળ વિધેય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$x^{3} = y^{3} \implies x = y$.તેથી,$f$ એ એક-એક (injective) છે.વ્યાપ્ત માટે: વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો દરેક $y \in Z$ માટે,કોઈ એવો $x \in Z$ મળે કે જેથી $f(x) = y$.ધારો કે $y = 2 \in Z$. આપણે $x^{3} = 2$ જોઈએ છે,જેનો અર્થ થાય કે $x = \sqrt[3]{2}$.પરંતુ $\sqrt[3]{2} 
otin Z$,તેથી એવો કોઈ $x \in Z$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = 2$.તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત (surjective) નથી.નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

$f: Z \rightarrow Z$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^{3}$ ની એક-એક (injectivity) અને વ્યાપ્ત (surjectivity) ચકાસો.

Similar Questions

વિધાન-$I$: ધારો કે $f : R \rightarrow R$ એવું વિધેય છે કે જેથી $f(x) = x^3 + x^2 + 3x + \sin x$. તો $f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વિધાન-$II$: $f(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે.

જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=2x+\sin x, x \in R$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય, તો $f$ એ

સાબિત કરો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ જે $f(x) = x^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક (one-one) પણ નથી અને વ્યાપ્ત (onto) પણ નથી.

$f: N \rightarrow N$,$f(x)=x^6$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો . . . . . . .

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module