વક્ર $4x^2 + y^2 - x + 4y = 0$ ની જીવાઓ જે ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે તે એક નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જેના યામ છે:

વર્તુળો $x^2+y^2-2x-2y-2=0$ અને $x^2+y^2+4x+6y+12=0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોનું સંયુક્ત સમીકરણ છે:

એકમ ત્રિજ્યાનું વર્તૂળ $C_1$ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શેં છે. બીજા એવા વર્તૂળની ત્રિજ્યા જે બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શેં છે અને $C_1$ ને એવી રીતે છેદે છે કે જેથી સામાન્ય જીવા મહત્તમ લંબાઈની થાય,તે છે:

બિંદુ $(-1, -4)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે. તો સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ શોધો.

બે વર્તુળો $C_1: x^2+y^2=25$ અને $C_2: (x-\alpha)^2+y^2=16$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $\alpha \in (5, 9)$. ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ ના એક છેદબિંદુમાંથી દોરેલી બે ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{63}}{8}\right)$ છે. જો $C_1$ અને $C_2$ ની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $\beta$ હોય,તો $(\alpha \beta)^2$ નું મૂલ્ય શોધો:

જો વર્તુળો $x^{2}+y^{2}-2x-2y-7=0$ અને $x^{2}+y^{2}+4x+2y+k=0$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદતા હોય,તો વર્તુળોની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ શોધો.