$f: R_{+} \rightarrow [4, \infty)$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x) = x^{2} + 4$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્ત છે અને $f$ નો વ્યસ્ત $f^{-1}(y) = \sqrt{y - 4}$ છે,જ્યાં $R_{+}$ એ તમામ અ-ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.

(A) $f: R_{+} \rightarrow [4, \infty)$ એ $f(x) = x^{2} + 4$ તરીકે આપેલ છે.
એક-એક (one-one) માટે:
ધારો કે $f(x) = f(y)$.
$\Rightarrow x^{2} + 4 = y^{2} + 4$.
$\Rightarrow x^{2} = y^{2}$.
$\Rightarrow x = y$ (કારણ કે $x, y \in R_{+}$).
તેથી,$f$ એ એક-એક વિધેય છે.
વ્યાપ્ત (onto) માટે:
$y \in [4, \infty)$ માટે,ધારો કે $y = x^{2} + 4$.
$\Rightarrow x^{2} = y - 4 \geq 0$ (કારણ કે $y \geq 4$).
$\Rightarrow x = \sqrt{y - 4} \geq 0$.
તેથી,કોઈપણ $y \in [4, \infty)$ માટે,$x = \sqrt{y - 4} \in R_{+}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,જેથી $f(x) = f(\sqrt{y - 4}) = (\sqrt{y - 4})^{2} + 4 = y - 4 + 4 = y$.
તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,તેથી $f^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
ચાલો $g: [4, \infty) \rightarrow R_{+}$ ને $g(y) = \sqrt{y - 4}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ.
હવે,
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^{2} + 4) = \sqrt{(x^{2} + 4) - 4} = \sqrt{x^{2}} = x$.
અને
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(\sqrt{y - 4}) = (\sqrt{y - 4})^{2} + 4 = y - 4 + 4 = y$.
તેથી,$g \circ f = I_{R_{+}}$ અને $f \circ g = I_{[4, \infty)}$.
આમ,$f$ વ્યસ્ત છે અને $f$ નો વ્યસ્ત $f^{-1}(y) = g(y) = \sqrt{y - 4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.