$f: R_{+} \rightarrow [-5, \infty)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = 9x^{2} + 6x - 5$ ધ્યાનમાં લો. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે અને $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ છે.

(A) $f: R_{+} \rightarrow [-5, \infty)$ એ $f(x) = 9x^{2} + 6x - 5$ તરીકે આપેલ છે.
ધારો કે $y$ એ $[-5, \infty)$ નો કોઈ સ્વૈચ્છિક ઘટક છે.
$y = 9x^{2} + 6x - 5$ લો.
$y = (3x + 1)^{2} - 1 - 5 = (3x + 1)^{2} - 6$.
$y + 6 = (3x + 1)^{2}$.
$x \in R_{+}$ હોવાથી,$x > 0$,તેથી $3x + 1 > 1$. આમ,$3x + 1 = \sqrt{y+6}$.
$x = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$.
$g: [-5, \infty) \rightarrow R_{+}$ ને $g(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો.
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g((3x+1)^{2}-6) = \frac{\sqrt{(3x+1)^{2}-6+6}-1}{3} = \frac{3x+1-1}{3} = x$.
$(f \circ g)(y) = f(g(y)) = 9\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)^{2} + 6\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right) - 5 = (\sqrt{y+6}-1)^{2} + 2(\sqrt{y+6}-1) - 5 = (y+6 - 2\sqrt{y+6} + 1) + 2\sqrt{y+6} - 2 - 5 = y + 7 - 7 = y$.
$g \circ f = I_{R_{+}}$ અને $f \circ g = I_{[-5, \infty)}$ હોવાથી,$f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે અને $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y+6}-1}{3}$ છે.