एक दीर्घवृत्त (ellipse) पर विचार करें,जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और इसका मुख्य अक्ष $x-$ अक्ष के अनुदिश है। यदि इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $\frac{3}{5}$ है और इसकी नाभियों के बीच की दूरी $6$ है,तो दीर्घवृत्त में अंकित चतुर्भुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में),जिसके शीर्ष दीर्घवृत्त के शीर्ष हैं,ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $\frac{(x+y-3)^2}{9}+\frac{(x-y+1)^2}{16}=1$ का केंद्र है

दो सीधी रेखाओं पर विचार करें,जिनमें से प्रत्येक वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ और परवलय $y^2 = 4x$ दोनों को स्पर्श करती है। मान लीजिए कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। उस दीर्घवृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और जिसकी अर्ध-दीर्घ अक्ष $OQ$ है। यदि इस दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की लंबाई $\sqrt{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलंब की लंबाई $1$ है।
$(B)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{2}$ है।
$(C)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ है।
$(D)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ है।

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$ की नाभियाँ एक बिंदु $P$ पर समकोण बनाती हैं। तो, $P$ का बिंदुपथ है

कथन $-1$: यदि एक बिंदु से एक दीर्घवृत्त (ellipse) पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं और यदि वे एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो उस बिंदु का बिंदुपथ हमेशा एक वृत्त होता है।
कथन $-2$: दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उस बिंदु का बिंदुपथ जहाँ से दो लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ है।

$P$ शांकव $a^2 x^2+b^2 y^2=a^2(a^2+b^2-y^2)$ पर एक बिंदु है और $S$ उस शांकव की नाभि है। $M$,$P$ से $S$ के निकटतम नियता पर डाले गए लंब का पाद है। यदि $PM = K SP$ है,तो $K=$