ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિ ક્રિયા $\wedge$ ધ્યાનમાં લો,જે $a \wedge b = \min\{a, b\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ક્રિયા $\wedge$ માટેનું ક્રિયા કોષ્ટક લખો.

$R$ પર સરવાળાની ક્રિયા '$+$' માટે સાબિત કરો કે $-a$ એ $a$ નો વ્યસ્ત છે અને $a \neq 0$ માટે ગુણાકારની ક્રિયા '$\times$' માટે $\frac{1}{a}$ એ $a$ નો વ્યસ્ત છે.

દ્વિ-ક્રિયાઓ $^*: R \times R \rightarrow R$ અને $o: R \times R \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો,જે $a \,^*\, b = |a-b|$ અને $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી,અને $o$ જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે પણ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવતું નથી. વધુમાં,સાબિત કરો કે $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$. [જો આમ હોય,તો આપણે કહીએ છીએ કે ક્રિયા $^*$ એ ક્રિયા $o$ પર વિભાજિત થાય છે]. શું $o$ એ $^*$ પર વિભાજિત થાય છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

જો $Q^{+}$ પર $a * b = 10ab$ હોય,તો $0.01$ નો વ્યસ્ત શોધો.

ધારો કે $A = N \times N$ અને $^*$ એ $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $(a, b) \,^*\, (c, d) = (a + c, b + d)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે શું આ ક્રિયા $^*$ ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે છે,જૂથનો ગુણધર્મ ધરાવે છે અને શું તેમાં તટસ્થ ઘટક (identity element) અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

ગણ $N$ પર નીચેનામાંથી કઈ દ્વિતીય ક્રિયાઓ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે અને કઈ ક્રમનો નિયમ પાળે છે તે નક્કી કરો: $a \ast b = 1$,દરેક $a, b \in N$ માટે.