નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
વિધાન $(I)$ : જો $|\vec{a}|=0$ અથવા $|\vec{b}|=0$ હોય,તો $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ થાય.
વિધાન $(II)$ : જો $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{0}$ હોય,તો $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને લંબ છે.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

નીચેના પદોને ધ્યાનમાં લો: $(A)$ $(a \times b) \cdot c$, $(B)$ $a \times (b \cdot c)$, $(C)$ $a \cdot (b \cdot c)$, $(D)$ $|a|(b \cdot c)$, $(E)$ $(a \cdot b) \times (b \cdot c)$। તેમના ગાણિતિક અર્થ વિશે નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?

બે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ધ્યાનમાં લો જેના સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OP} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$ અને $\overrightarrow{OQ} = \vec{a} + \vec{b}$ છે. બિંદુ $R$ નો સ્થાન સદિશ શોધો જે $P$ અને $Q$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

$XY$-સમતલમાં કોઈપણ બે બિંદુઓ $M$ અને $N$ માટે, $\overrightarrow{MN}$ એ $M$ થી $N$ સુધીનો સદિશ દર્શાવે છે, અને $\overrightarrow{0}$ એ શૂન્ય સદિશ દર્શાવે છે। ધારો કે $P, Q$ અને $R$ એ $XY$-સમતલમાં ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ છે। ધારો કે $S$ એ ત્રિકોણ $\triangle PQR$ ની અંદરનું એક એવું બિંદુ છે કે જેથી $\overrightarrow{SP} + 5\overrightarrow{SQ} + 6\overrightarrow{SR} = \overrightarrow{0}$ થાય। ધારો કે $E$ અને $F$ એ અનુક્રમે બાજુઓ $PR$ અને $QR$ ના મધ્યબિંદુઓ છે। તો $\frac{\text{રેખાખંડ } EF \text{ ની લંબાઈ}}{\text{રેખાખંડ } ES \text{ ની લંબાઈ}}$ નું મૂલ્ય શોધો: ($.20$ માં)

ધારો કે $P, Q, R$ અને $S$ એ સમતલ પર અનુક્રમે સ્થાન સદિશો $-2\hat{i} - \hat{j}$,$4\hat{i}$,$3\hat{i} + 3\hat{j}$ અને $-3\hat{i} + 2\hat{j}$ વાળા બિંદુઓ છે. ચતુષ્કોણ $PQRS$ કેવો હોવો જોઈએ?

$I$. બે શૂન્યતર, અસમરેખ સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
$II$. કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો સુરેખ રીતે પરતંત્ર છે.
ઉપરોક્તમાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?