समुच्चय {-2, -1, 0, 1, 2} पर परिभाषित संबंध R | vedclass

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Question

(A) माना समुच्चय $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ है। कुल संभावित क्रमित युग्मों $(a, b)$ की संख्या $5 	imes 5 = 25$ है।हमें ऐसे युग्म खोजने हैं जिनके लिए $

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केवल $I$ सत्य है

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(A) माना समुच्चय $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ है। कुल संभावित क्रमित युग्मों $(a, b)$ की संख्या $5 	imes 5 = 25$ है।हमें ऐसे युग्म खोजने हैं जिनके लिए $1 + ab > 0$ हो, जो $ab > -1$ के बराबर है।उन युग्मों को गिनना आसान है जहाँ $ab \leq -1$ है और उन्हें $25$ में से घटाना है।$ab \leq -1$ वाले युग्म $(a, b)$ इस प्रकार हैं:$(-2, 1) \Rightarrow ab = -2$$(1, -2) \Rightarrow ab = -2$$(-2, 2) \Rightarrow ab = -4$$(2, -2) \Rightarrow ab = -4$$(-1, 1) \Rightarrow ab = -1$$(1, -1) \Rightarrow ab = -1$$(-1, 2) \Rightarrow ab = -2$$(2, -1) \Rightarrow ab = -2$ऐसे कुल $8$ युग्म हैं। अतः, $R$ में अवयवों की संख्या $25 - 8 = 17$ है। कथन $I$ सत्य है।कथन $II$ के लिए, जाँचें कि क्या $R$ एक तुल्यता संबंध है। एक संबंध तुल्यता संबंध होता है यदि वह स्वतुल्य, सममित और संक्रामक हो।स्वतुल्यता: $1 + a^2 > 0$ सभी $a \in S$ के लिए सत्य है। अतः, यह स्वतुल्य है।सममितता: $1 + ab > 0 \iff 1 + ba > 0$। अतः, यह सममित है।संक्रामकता: $(1, 0) \in R$ क्योंकि $1 + 0 = 1 > 0$, और $(0, -2) \in R$ क्योंकि $1 + 0 = 1 > 0$ है। हालाँकि, $(1, -2) 
otin R$ क्योंकि $1 + (1)(-2) = -1 
gtr 0$ है। इस प्रकार, $R$ संक्रामक नहीं है। कथन $II$ असत्य है।

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एक ऐसे संबंध का उदाहरण दीजिए जो स्वतुल्य (reflexive) और संक्रामक (transitive) है लेकिन सममित (symmetric) नहीं है।

मान लीजिए $\rho_{1}$ और $\rho_{2}$ एक अरिक्त समुच्चय $S$ पर परिभाषित दो तुल्यता संबंध हैं। तो

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