एक फलन f: R rightarrow R को f(x) = begin{case | vedclass

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Question

(B) चूंकि $f(x)$,$R$ पर अवकलनीय है,इसलिए इसे $x = 0$ पर सतत होना चाहिए।$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow

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$a = 1, b = 0$

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(B) चूंकि $f(x)$,$R$ पर अवकलनीय है,इसलिए इसे $x = 0$ पर सतत होना चाहिए।$x = 0$ पर सांतत्य के लिए:$\lim_{x ightarrow 0^-} f(x) = \lim_{x ightarrow 0^+} f(x) = f(0)$$\lim_{x ightarrow 0^-} \frac{\sin x^2}{x} = \lim_{x ightarrow 0^+} (x^2 + ax + b)$सीमा $\lim_{	heta ightarrow 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\lim_{x ightarrow 0^-} (x \cdot \frac{\sin x^2}{x^2}) = 0 \cdot 1 = 0$.अतः,$0 = b$,इसलिए $b = 0$.$x = 0$ पर अवकलनीयता के लिए,बायां अवकलज $(LHD)$ दाएं अवकलज $(RHD)$ के बराबर होना चाहिए:$LHD = \lim_{h ightarrow 0^+} \frac{f(0-h) - f(0)}{-h} = \lim_{h ightarrow 0^+} \frac{\frac{\sin(-h)^2}{-h} - 0}{-h} = \lim_{h ightarrow 0^+} \frac{\sin h^2}{h^2} = 1$.$RHD = \lim_{h ightarrow 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h ightarrow 0^+} \frac{h^2 + ah + b - b}{h} = \lim_{h ightarrow 0^+} (h + a) = a$.$LHD$ और $RHD$ की तुलना करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।अतः,$a = 1$ और $b = 0$।

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