સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણીય ગતિના કિસ્સામાં કોણીય વેગમાનનું સમીકરણ તારવો.

(N/A) સ્થિર $Z$-અક્ષની આસપાસ ફરતા દ્રઢ પદાર્થ માટે,$i$-માં કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{l}_i = \vec{r}_i \times \vec{p}_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રઢ પદાર્થનું કુલ કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના તમામ કણોના કોણીય વેગમાનનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{L} = \sum_{i=1}^{n} \vec{l}_i = \sum_{i=1}^{n} (\vec{r}_i \times \vec{p}_i)$.
કારણ કે $\vec{p}_i = m_i \vec{v}_i$ અને ભ્રમણીય ગતિ માટે $\vec{v}_i = \vec{\omega} \times \vec{r}_i$,તેથી:
$\vec{L} = \sum_{i=1}^{n} [\vec{r}_i \times (m_i (\vec{\omega} \times \vec{r}_i))]$.
સ્થિર અક્ષની આસપાસ ભ્રમણ માટે,કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ તમામ કણો માટે સમાન રહે છે અને ભ્રમણની અક્ષની દિશામાં હોય છે (ધારો કે તે $Z$-અક્ષ છે,$\vec{\omega} = \omega \hat{k}$).
$Z$-અક્ષની દિશામાં કોણીય વેગમાનનો ઘટક:
$L_Z = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2 \omega = (\sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2) \omega$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$L_Z = I \omega$.
સદિશ સ્વરૂપમાં,$\vec{L} = I \vec{\omega}$,જે રેખીય ગતિમાં $\vec{p} = m \vec{v}$ ને સમાન છે.