सारणिक $\Delta=\left|\begin{array}{lll}3 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

कथन-$1$: $3$ कोटि के विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) का सारणिक शून्य होता है।
कथन-$2$: $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$\det(A^T) = \det(A)$ और $\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ होता है।

$\theta \in (0, \pi /3)$ का एक मान,जिसके लिए $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & 1 + \sin^2 \theta & 4 \cos 6\theta \\ \cos^2 \theta & \sin^2 \theta & 1 + 4 \cos 6\theta \end{array} \right| = 0$ है,वह है

मान लीजिए $P = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $Q = [b_{ij}]$ है,जहाँ $1 \leq i, j \leq 3$ के लिए $b_{ij} = 2^{i+j} a_{ij}$ है। यदि $P$ का सारणिक $2$ है,तो आव्यूह $Q$ का सारणिक क्या है?

$\left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1+ac & 1+bc \\ 1 & 1+ad & 1+bd \\ 1 & 1+ae & 1+be \end{array}} \right| = $

$\left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=$ . . . . . . .