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Question

(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(

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$\frac{\pi}{4}$

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(C) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x \quad \dots(1)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{\frac{3}{2}}(\frac{\pi}{2}-x)} d x$चूँकि $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$, इसलिए:$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{\frac{3}{2}} x}{\cos ^{\frac{3}{2}} x+\sin ^{\frac{3}{2}} x} d x \quad \dots(2)$$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x + \cos ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x + \cos ^{\frac{3}{2}} x} d x$$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 d x$$2I = [x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$$I = \frac{\pi}{4}$

निम्नलिखित निश्चित समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{\frac{3}{2}} x}{\sin ^{\frac{3}{2}} x+\cos ^{\frac{3}{2}} x} d x$

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$\int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + {e^x}}}\,dx = } $

यदि $\int_0^{2024 \pi} \frac{2023^{\sin ^2 x}}{2023^{\sin ^2 x}+2023^{\cos ^2 x}} d x=k$ है,तो $\left(\frac{2 k}{\pi}+1\right)=$

समाकलन $\int_{\frac{1}{n}}^{\frac{an - 1}{n}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{a - x} + \sqrt{x}} dx$ का मान क्या है?

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