$\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્ર,$\frac{dy}{dx} + \frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x} = 0$ ના વ્યાપક ઉકેલ દ્વારા દર્શાવેલ દરેક વક્રને $\theta$ ખૂણે છેદે છે. તો,$4\theta - \frac{\pi}{2} =$

$y{e^{ - x/y}}dx - (x{e^{ - x/y}} + {y^3})dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f:[0, \infty) \rightarrow R$ એક સતત વિધેય છે જેથી તમામ $x \in[0, \infty)$ માટે $f(x)=1-2 x+\int_0^x e^{x-t} f(t) d t$ થાય. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે
$(B)$ વક્ર $y=f(x)$ બિંદુ $(2,-1)$ માંથી પસાર થાય છે
$(C)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-2}{4}$ છે
$(D)$ પ્રદેશ $\left\{(x, y) \in[0,1] \times R: f(x) \leq y \leq \sqrt{1-x^2}\right\}$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi-1}{4}$ છે

$y = 2x\left( \frac{dy}{dx} \right) + x^2\left( \frac{dy}{dx} \right)^4$ નો ઉકેલ શું છે?

જો $y = \frac{x}{\ln |c x|}$ (જ્યાં $c$ એક સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે) એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi \left( \frac{x}{y} \right)$ નો વ્યાપક ઉકેલ હોય,તો વિધેય $\phi \left( \frac{x}{y} \right)$ શું છે?

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y = x \sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ નો ઉકેલ છે (જ્યાં $x \neq 0$ અને $x > y$ અથવા $x < -y$).