फलन $f$ की सांतत्यता की जाँच कीजिए,जहाँ $f(x) = \begin{cases} \sin x - \cos x, & \text{यदि } x \neq 0 \\ -1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है।

(A) दिया गया फलन $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} \sin x - \cos x, & \text{यदि } x \neq 0 \\ -1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$।
यह स्पष्ट है कि $f$ वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।
मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c \neq 0$ है,तो $f(c) = \sin c - \cos c$।
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (\sin x - \cos x) = \sin c - \cos c$।
चूँकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,इसलिए $f$ उन सभी बिंदुओं $x \neq 0$ पर संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 0$ है,तो $f(0) = -1$।
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$।
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$।
चूँकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = -1$,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
उपरोक्त अवलोकनों से,यह निष्कर्ष निकलता है कि $f$ वास्तविक संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु पर संतत है।