વક્રોનું એવું કુળ શોધો કે જેથી કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પરના સ્પર્શક અને વક્ર $xy = c^2$ ના છેદબિંદુ પરના સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય.

સ્તંભ $I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને સ્તંભ $II$ માં આપેલા મૂલ્યો સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ અંતરાલ $(0, \frac{\pi}{2})$ માં સમીકરણ $x e^{\sin x}-\cos x=0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા	$(p)$ $1$
$(B)$ $k$ ના મૂલ્યો જેના માટે સમતલો $k x+4 y+z=0, 4 x+k y+2 z=0$ અને $2 x+2 y+z=0$ એક સીધી રેખામાં છેદે છે	$(q)$ $2$
$(C)$ $k$ ના મૂલ્યો જેના માટે $|x-1|+|x-2|+|x+1|+|x+2|=4 k$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલો મળે	$(r)$ $3$
$(D)$ જો $y^{\prime}=y+1$ અને $y(0)=1$ હોય,તો $y(\ln 2)$ નું મૂલ્ય	$(s)$ $4$
	$(t)$ $5$

વિકલ સમીકરણ $\cos^2 x \frac{d^2y}{dx^2} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} = \frac{3y}{2x}$ એ અતિવલયના કુળનું નિરૂપણ કરે છે (જ્યારે તે રેખાઓની જોડીનું નિરૂપણ કરે છે તે સિવાય),તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી હશે?

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y - \cos y = x$ એ વિકલ સમીકરણ $(y \sin y + \cos y + x) y' = y$ નો ઉકેલ છે.

વિધાન $-1$: પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ,જેની અક્ષ $x$-અક્ષ છે અને શિરોબિંદુ ઉગમબિંદુ પર છે,તે બિંદુ $P$ ના કોટિ (ordinate) ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાન $-2$: પરવલયોની સંહતિ $y^2 = 4ax$ એ $1$ ઘાત અને $1$ કક્ષાના વિકલ સમીકરણનું પાલન કરે છે.