यदि $(1, 7), (2, 4)$ और $(k, 5)$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

(A-D) माना शीर्ष $A(1, 7), B(2, 4)$ और $C(k, 5)$ हैं।
बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (1-2)^2 + (7-4)^2 = (-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$
$BC^2 = (2-k)^2 + (4-5)^2 = 4 - 4k + k^2 + 1 = k^2 - 4k + 5$
$AC^2 = (1-k)^2 + (7-5)^2 = 1 - 2k + k^2 + 4 = k^2 - 2k + 5$
समकोण त्रिभुज के लिए,कोई एक कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए:
स्थिति $1$: $\angle A = 90^{\circ}$. तब $BC^2 = AB^2 + AC^2$.
$k^2 - 4k + 5 = 10 + k^2 - 2k + 5$
$-2k = 10 \implies k = -5$
स्थिति $2$: $\angle B = 90^{\circ}$. तब $AC^2 = AB^2 + BC^2$.
$k^2 - 2k + 5 = 10 + k^2 - 4k + 5$
$2k = 10 \implies k = 5$
स्थिति $3$: $\angle C = 90^{\circ}$. तब $AB^2 = BC^2 + AC^2$.
$10 = (k^2 - 4k + 5) + (k^2 - 2k + 5)$
$10 = 2k^2 - 6k + 10$
$2k^2 - 6k = 0 \implies 2k(k - 3) = 0$
$k = 0$ या $k = 3$
अतः,$k$ के संभावित मान $-5, 5, 0, 3$ हैं।