$f$ ના તમામ અસતત બિંદુઓ શોધો,જ્યાં $f$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $f(x) = \begin{cases} x^3 - 3, & \text{જો } x \le 2 \\ x^2 + 1, & \text{જો } x > 2 \end{cases}$

(NONE) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} x^3 - 3, & \text{જો } x \le 2 \\ x^2 + 1, & \text{જો } x > 2 \end{cases}$ છે.
વિધેય $f$ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
કિસ્સો $I$: જો $c < 2$ હોય,તો $f(c) = c^3 - 3.$
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^3 - 3) = c^3 - 3 = f(c).$
તેથી,$f$ એ તમામ $x < 2$ માટે સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = 2$ હોય,તો $f(2) = 2^3 - 3 = 5.$
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^3 - 3) = 2^3 - 3 = 5.$
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5.$
અહીં $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 5$ હોવાથી,વિધેય $x = 2$ આગળ સતત છે.
કિસ્સો $III$: જો $c > 2$ હોય,તો $f(c) = c^2 + 1.$
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 + 1) = c^2 + 1 = f(c).$
તેથી,$f$ એ તમામ $x > 2$ માટે સતત છે.
નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખા પરના દરેક બિંદુએ સતત છે. તેથી,અસતતતાનું કોઈ બિંદુ નથી.