वह शर्त ज्ञात कीजिए जिसके लिए वक्र $2x = y^2$ और $2xy = k$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं।

(D) दिए गए वक्रों के समीकरण $2x = y^2 \dots(i)$ और $2xy = k \dots(ii)$ हैं।
$(ii)$ से,$y = \frac{k}{2x}$। इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$2x = (\frac{k}{2x})^2 \Rightarrow 2x = \frac{k^2}{4x^2} \Rightarrow 8x^3 = k^2 \Rightarrow x = \frac{k^{2/3}}{2}$।
अतः $y^2 = 2x = k^{2/3} \Rightarrow y = k^{1/3}$।
प्रतिच्छेद बिंदु $(\frac{k^{2/3}}{2}, k^{1/3})$ है।
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$। मान लीजिए $m_1 = \frac{1}{k^{1/3}}$।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y + 2x \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।
प्रतिच्छेद बिंदु पर,$m_2 = -\frac{k^{1/3}}{k^{2/3}/2} = -\frac{2}{k^{1/3}}$।
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए $m_1 \cdot m_2 = -1$।
$\frac{1}{k^{1/3}} \cdot (-\frac{2}{k^{1/3}}) = -1 \Rightarrow -\frac{2}{k^{2/3}} = -1 \Rightarrow k^{2/3} = 2$।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$k^2 = 8$।