p_1 और p_2 क्रमशः वक्र x^{2/3} + y^{2/3} = a^ | vedclass

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Question

(C) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ $\dots(i)$ है।वक्र पर कोई भी बिंदु $(a \cos^3 	heta, a \sin^3 	heta)$ के रूप में लिया जा सकता है।स्

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(C) वक्र का समीकरण $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ $\dots(i)$ है।वक्र पर कोई भी बिंदु $(a \cos^3 	heta, a \sin^3 	heta)$ के रूप में लिया जा सकता है।स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sin 	heta}{\cos 	heta} = -	an 	heta$ है।स्पर्शरेखा का समीकरण $y - a \sin^3 	heta = -	an 	heta (x - a \cos^3 	heta)$ है,जो सरल होकर $x \sin 	heta + y \cos 	heta = \frac{a}{2} \sin 2	heta$ हो जाता है।मूल बिंदु $(0,0)$ से स्पर्शरेखा की लंबवत दूरी $p_1 = \left| \frac{-\frac{a}{2} \sin 2	heta}{\sqrt{\sin^2 	heta + \cos^2 	heta}} ight| = \frac{a}{2} \sin 2	heta$ है,इसलिए $2p_1 = a \sin 2	heta$ $\dots(ii)$।अभिलंब की ढाल $\cot 	heta$ है। अभिलंब का समीकरण $y - a \sin^3 	heta = \cot 	heta (x - a \cos^3 	heta)$ है,जो सरल होकर $x \cos 	heta - y \sin 	heta = a \cos 2	heta$ हो जाता है।मूल बिंदु से अभिलंब की लंबवत दूरी $p_2 = \left| \frac{-a \cos 2	heta}{\sqrt{\cos^2 	heta + \sin^2 	heta}} ight| = a \cos 2	heta$ $\dots(iii)$ है।$(ii)$ और $(iii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर,$(2p_1)^2 + p_2^2 = a^2 \sin^2 2	heta + a^2 \cos^2 2	heta = a^2$ प्राप्त होता है।अतः,$4p_1^2 + p_2^2 = a^2$। इसे $k_1 p_1^2 + k_2 p_2^2 = a^2$ से तुलना करने पर,$k_1 = 4$ और $k_2 = 1$ प्राप्त होता है।इसलिए,$k_1 + k_2 = 4 + 1 = 5$।

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