दीर्घवृत्त $9x^{2} + 4y^{2} = 36$ के लिए नाभियों के निर्देशांक,शीर्षों,दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ तथा उत्केन्द्रता ज्ञात कीजिए।

एक दीर्घवृत्त का केंद्र $C$ है,$PN$ कोई कोटि (ordinate) है और $A$,$A'$ दीर्घ अक्ष के अंतिम बिंदु हैं,तो $\frac{PN^2}{AN \cdot A'N}$ का मान है

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की $2$ ढाल वाली स्पर्श रेखा वृत्त $x^2+y^2=4$ को स्पर्श करती है,तो $ab$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

एक व्यक्ति रेस-कोर्स के चारों ओर दौड़ते हुए यह नोट करता है कि उससे दो फ्लैग-पोस्ट की दूरियों का योग हमेशा $10 \ m$ है और फ्लैग-पोस्ट के बीच की दूरी $8 \ m$ है। उसके द्वारा घेरे गए पथ का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में क्या है ($\pi$ में)?

दो सीधी रेखाओं पर विचार करें,जिनमें से प्रत्येक वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$ और परवलय $y^2 = 4x$ दोनों को स्पर्श करती है। मान लीजिए कि ये रेखाएं बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। उस दीर्घवृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और जिसकी अर्ध-दीर्घ अक्ष $OQ$ है। यदि इस दीर्घवृत्त के लघु अक्ष की लंबाई $\sqrt{2}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{\sqrt{2}}$ है और नाभिलंब की लंबाई $1$ है।
$(B)$ दीर्घवृत्त के लिए,उत्केंद्रता $\frac{1}{2}$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{1}{2}$ है।
$(C)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{4\sqrt{2}}(\pi - 2)$ है।
$(D)$ रेखाओं $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $x = 1$ के बीच दीर्घवृत्त द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{16}(\pi - 2)$ है।

मान लीजिए कि रेखा $y=mx$ और दीर्घवृत्त $2x^{2}+y^{2}=1$ प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि इस दीर्घवृत्त के बिंदु $P$ पर अभिलंब निर्देशांक अक्षों को $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ और $(0, \beta)$ पर मिलता है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।