बिंदु $(3,2)$ से गुजरने वाली उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x-2y=3$ के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।

माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m_{1}$ है।
दी गई रेखा $x-2y=3$ है,जिसे $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,दी गई रेखा की ढाल $m_{2}=\frac{1}{2}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है। दो रेखाओं जिनकी ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ है,उनके बीच के कोण का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2}-m_{1}}{1+m_{1}(\frac{1}{2})} \right|$.
$1 = \left| \frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $\frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} = 1$ $\Rightarrow 1-2m_{1} = 2+m_{1}$ $\Rightarrow 3m_{1} = -1$ $\Rightarrow m_{1} = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $II$: $\frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} = -1$ $\Rightarrow 1-2m_{1} = -2-m_{1}$ $\Rightarrow m_{1} = 3$.
$m_{1} = 3$ के लिए,$(3,2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = 3(x-3)$ $\Rightarrow y-2 = 3x-9$ $\Rightarrow 3x-y = 7$ है।
$m_{1} = -\frac{1}{3}$ के लिए,$(3,2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = -\frac{1}{3}(x-3)$ $\Rightarrow 3y-6 = -x+3$ $\Rightarrow x+3y = 9$ है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $3x-y=7$ और $x+3y=9$ हैं।