समीकरण $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

दिया गया समीकरण: $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{5x+x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x-x}{2}\right) + \sin 3x = 0$
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin 3x = 0$
$3x = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{n\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
स्थिति $2$: $2 \cos 2x + 1 = 0$
$\cos 2x = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos 2x = -\cos \frac{\pi}{3} = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{2\pi}{3}$
$2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$
अतः,व्यापक हल $x = \frac{n\pi}{3}$ या $x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.