સમીકરણ $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

આપેલ સમીકરણ: $\sin x + \sin 3x + \sin 5x = 0$
પદોને ગોઠવતા: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 0$
સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \left(\frac{5x+x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x-x}{2}\right) + \sin 3x = 0$
$2 \sin 3x \cos 2x + \sin 3x = 0$
$\sin 3x$ સામાન્ય લેતા:
$\sin 3x (2 \cos 2x + 1) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin 3x = 0$
$3x = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{n\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2x + 1 = 0$
$\cos 2x = -\frac{1}{2}$
$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\cos 2x = -\cos \frac{\pi}{3} = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{2\pi}{3}$
$2x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
$x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $x = \frac{n\pi}{3}$ અથવા $x = n\pi \pm \frac{\pi}{3}$ છે,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.