बिंदु $\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ से समतल $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई और लंबपाद ज्ञात कीजिए।

(A) दिए गए समतल का समीकरण $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ है ... $(i)$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
बिंदु $P\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ से होकर जाने वाली और समतल के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3/2}{-2} = \frac{z-2}{4} = \lambda$ है।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $x = 2\lambda + 1$,$y = -2\lambda + \frac{3}{2}$,और $z = 4\lambda + 2$ के रूप में होगा।
यदि यह बिंदु समतल पर स्थित है,तो यह समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$2(2\lambda + 1) - 2(-2\lambda + \frac{3}{2}) + 4(4\lambda + 2) + 5 = 0$
$4\lambda + 2 + 4\lambda - 3 + 16\lambda + 8 + 5 = 0$
$24\lambda + 12 = 0 \Rightarrow 24\lambda = -12 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ रखने पर,लंबपाद $\left(2(-\frac{1}{2}) + 1, -2(-\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}, 4(-\frac{1}{2}) + 2\right) = \left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$ प्राप्त होता है।
लंब की लंबाई $\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ और $\left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$ के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(1-0)^2 + (\frac{3}{2} - \frac{5}{2})^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ इकाई।