बिंदु $R$ का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए जो $P$ और $Q$ को जोड़ने वाली रेखा को,जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{OP} = 2\vec{a} + \vec{b}$ और $\overrightarrow{OQ} = \vec{a} - 2\vec{b}$ हैं,$1:2$ के अनुपात में $(i)$ अंतः विभाजित और (ii) बाह्य विभाजित करता है।

(A) $(i)$ $P$ और $Q$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\overrightarrow{OQ} + n\overrightarrow{OP}}{m+n}$.
मान रखने पर: $\overrightarrow{OR} = \frac{1(\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1+2} = \frac{\vec{a} - 2\vec{b} + 4\vec{a} + 2\vec{b}}{3} = \frac{5\vec{a}}{3}$.
(ii) $P$ और $Q$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का स्थिति सदिश विभाजन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{OR} = \frac{m\overrightarrow{OQ} - n\overrightarrow{OP}}{m-n}$.
मान रखने पर: $\overrightarrow{OR} = \frac{1(\vec{a} - 2\vec{b}) - 2(2\vec{a} + \vec{b})}{1-2} = \frac{\vec{a} - 2\vec{b} - 4\vec{a} - 2\vec{b}}{-1} = \frac{-3\vec{a} - 4\vec{b}}{-1} = 3\vec{a} + 4\vec{b}$.