वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें रेखा $2x + 3y - 5 = 0$ बिंदुओं $(8, -9)$ और $(2, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है। विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
(A) मान लीजिए कि रेखा $2x + 3y - 5 = 0$ बिंदुओं $A(8, -9)$ और $B(2, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु $P$ पर $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करती है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1}, \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$ रेखा $2x + 3y - 5 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1} \right) + 3\left( \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right) - 5 = 0$
$(\lambda + 1)$ से गुणा करने पर:
$2(2\lambda + 8) + 3(\lambda - 9) - 5(\lambda + 1) = 0$
$4\lambda + 16 + 3\lambda - 27 - 5\lambda - 5 = 0$
$2\lambda - 16 = 0$
$2\lambda = 16 \Rightarrow \lambda = 8$
अतः,अनुपात $8 : 1$ है।
अब,$\lambda = 8$ रखकर $P$ के निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$x = \frac{2(8) + 8}{8 + 1} = \frac{16 + 8}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
$y = \frac{8 - 9}{8 + 1} = \frac{-1}{9}$
विभाजन बिंदु के निर्देशांक $(\frac{8}{3}, -\frac{1}{9})$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1}, \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right)$
चूंकि बिंदु $P$ रेखा $2x + 3y - 5 = 0$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2\left( \frac{2\lambda + 8}{\lambda + 1} \right) + 3\left( \frac{\lambda - 9}{\lambda + 1} \right) - 5 = 0$
$(\lambda + 1)$ से गुणा करने पर:
$2(2\lambda + 8) + 3(\lambda - 9) - 5(\lambda + 1) = 0$
$4\lambda + 16 + 3\lambda - 27 - 5\lambda - 5 = 0$
$2\lambda - 16 = 0$
$2\lambda = 16 \Rightarrow \lambda = 8$
अतः,अनुपात $8 : 1$ है।
अब,$\lambda = 8$ रखकर $P$ के निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$x = \frac{2(8) + 8}{8 + 1} = \frac{16 + 8}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$
$y = \frac{8 - 9}{8 + 1} = \frac{-1}{9}$
विभाजन बिंदु के निर्देशांक $(\frac{8}{3}, -\frac{1}{9})$ हैं।
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Difficult
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Medium
View Solutionदर्शाइए कि बिंदु $(5, 5)$,$(3, 5)$ और $(7, 5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
Easy
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Easy
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