उन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ हैं।दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का स

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$\frac{3}{\sqrt{19}}$ इकाई

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(A) दी गई रेखाएं $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ हैं।दो विषम रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:$d = \left| \frac{(\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}|} ight|$दिए गए समीकरणों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\vec{a}_{1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b}_{1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$$\vec{a}_{2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$,$\vec{b}_{2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ की गणना करें।क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}$ की गणना करें:$\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -3 & 2 \ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(3 - (-6)) = -9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}$.इसका परिमाण $|\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}| = \sqrt{(-9)^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 9 + 81} = \sqrt{171} = 3\sqrt{19}$ है।डॉट प्रोडक्ट $(\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) = (-9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = -27 + 9 + 27 = 9$ है।अतः,$d = \left| \frac{9}{3\sqrt{19}} ight| = \frac{3}{\sqrt{19}}$ इकाई।

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