left(1-frac{1}{n+1}right)+left(1-frac{2}{n+1} | vedclass

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Question

(B) दी गई व्यंजक $\sum_{k=1}^{n} \left(1-\frac{k}{n+1}\right)$ है।इसे $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots+\left(1-\frac{

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$\frac{1}{2} n$

Vedclass · Answer

(B) दी गई व्यंजक $\sum_{k=1}^{n} \left(1-\frac{k}{n+1}\right)$ है।इसे $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots+\left(1-\frac{n}{n+1}\right)$ के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।इस श्रेणी में $n$ पद हैं,इसलिए हम इसे $n - \left(\frac{1}{n+1} + \frac{2}{n+1} + \cdots + \frac{n}{n+1}\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।हर को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $n - \frac{1}{n+1} (1+2+3+\cdots+n)$ प्राप्त होता है।प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के योग के सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:$n - \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.अंश और हर से $(n+1)$ को काटने पर,हमें $n - \frac{n}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,योग $\frac{n}{2}$ है।

$\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\left(1-\frac{3}{n+1}\right)+\cdots+\left(1-\frac{n}{n+1}\right)$ का योग ज्ञात कीजिए।

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