उस श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका | vedclass

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Question

(A) $n^{th}$ पद $a_n = (2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$ है। योग के सूत्रों $\sum

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$\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

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(A) $n^{th}$ पद $a_n = (2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$ है। योग के सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$,और $\sum 1 = n$ का उपयोग करते हुए: $S_n = 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n$ $S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$ $S_n = n \left[ \frac{2(2n^2+3n+1) - 6(n+1) + 3}{3} \right]$ $S_n = n \left[ \frac{4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3}{3} \right]$ $S_n = n \left[ \frac{4n^2 - 1}{3} \right] = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.

उस श्रेणी के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका $n^{th}$ पद $(2n-1)^2$ द्वारा दिया गया है।

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यदि $1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4=f(n) \left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)$,सभी $n \in N$ के लिए,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का माध्य क्या है?

मान लीजिए $S_k = \frac{1 + 2 + 3 + .... + k}{k}$ है। यदि $S_1^2 + S_2^2 + ....... + S_{10}^2 = \frac{5}{12}A$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम $8, 88, 888, 8888, \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

किसी भी पूर्णांक $n \geq 1$ के लिए,$\sum_{K=1}^n K(K+2) =$

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