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Question

(D) अनंत गुणोत्तर श्रेणी दी गई है:$x = 1 + \cos^2\phi + \cos^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi}$$y = 1 + \sin^2\phi + \si

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$xyz = x + y + z$ और $xyz = xy + z$

Vedclass · Answer

(D) अनंत गुणोत्तर श्रेणी दी गई है:$x = 1 + \cos^2\phi + \cos^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi}$$y = 1 + \sin^2\phi + \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \sin^2\phi} = \frac{1}{\cos^2\phi}$$z = 1 + \cos^2\phi \sin^2\phi + \cos^4\phi \sin^4\phi + \dots = \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}$अब,$xy$ की गणना करें:$xy = \frac{1}{\sin^2\phi} \cdot \frac{1}{\cos^2\phi} = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi}$विकल्प $(b)$ की जाँच करें:$xy + z = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + \frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi} = \frac{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi + \sin^2\phi \cos^2\phi}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)} = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$$xyz = \left(\frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi}\right) \left(\frac{1}{1 - \cos^2\phi \sin^2\phi}\right) = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi (1 - \cos^2\phi \sin^2\phi)}$अतः,$xyz = xy + z$ सही है।विकल्प $(c)$ की जाँच करें:$x + y + z = \frac{1}{\sin^2\phi} + \frac{1}{\cos^2\phi} + z = \frac{\cos^2\phi + \sin^2\phi}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + z = \frac{1}{\sin^2\phi \cos^2\phi} + z = xy + z = xyz$.चूँकि $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं,इसलिए विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

$0 < \phi < \frac{\pi}{2}$ के लिए,यदि $x = \sum_{n=0}^\infty \cos^{2n}\phi$,$y = \sum_{n=0}^\infty \sin^{2n}\phi$,और $z = \sum_{n=0}^\infty \cos^{2n}\phi \sin^{2n}\phi$ है,तो:

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