alpha, beta, gamma in R के लिए,यदि lim _{x ri | vedclass

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Question

(A) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}}{\sin(2x) - \beta x} = 3$। सीमा के अस्तित्व और परिमित होने क

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$7$

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(A) दिया गया सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}}{\sin(2x) - \beta x} = 3$। सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,अंश को $x \rightarrow 0$ पर $0$ की ओर अग्रसर होना चाहिए। चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} (x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}) = 0 + (\gamma-1)(1) = \gamma-1$,इसलिए $\gamma-1 = 0$ होना चाहिए,जिससे $\gamma = 1$ प्राप्त होता है। अब व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2(\alpha x + O(x^3)) + 0(e^{x^2}-1)}{(2x - \frac{8x^3}{6} + O(x^5)) - \beta x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{(2-\beta)x - \frac{4}{3}x^3} = 3$ बन जाता है। सीमा के शून्यतर होने के लिए,हर में $x$ की घात अंश के समान होनी चाहिए। अतः,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए,यानी $2-\beta = 0$,जिससे $\beta = 2$ प्राप्त होता है। अब सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x^3}{-\frac{4}{3}x^3} = -\frac{3\alpha}{4} = 3$ है। $\alpha$ के लिए हल करने पर,$\alpha = -4$ प्राप्त होता है। अंत में,$\beta + \gamma - \alpha = 2 + 1 - (-4) = 7$।

$\alpha, \beta, \gamma \in R$ के लिए,यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin(\alpha x) + (\gamma-1) e^{x^2}}{\sin(2x) - \beta x} = 3$ है,तो $\beta + \gamma - \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

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