n 1 और n in N के लिए, यदि z_1, z_2, ldots, | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $(z+1)^n = z^n$ है। चूँकि $z=0$ मूल नहीं है, हम लिख सकते हैं $(\frac{z+1}{z})^n = 1$। माना $\frac{z+1}{z} = \omega_k = e^{i \frac{

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$\frac{n-1}{2}(2 - \pi)$

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(C) दिया गया समीकरण $(z+1)^n = z^n$ है। चूँकि $z=0$ मूल नहीं है, हम लिख सकते हैं $(\frac{z+1}{z})^n = 1$। माना $\frac{z+1}{z} = \omega_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ जहाँ $k = 1, 2, \ldots, n-1$ है। तब $z+1 = z \omega_k \Rightarrow z(1 - \omega_k) = -1 \Rightarrow z = \frac{1}{\omega_k - 1}$। $\omega_k = \cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $z = \frac{1}{\cos(\frac{2k\pi}{n}) - 1 + i \sin(\frac{2k\pi}{n})} = \frac{1}{-2 \sin^2(\frac{k\pi}{n}) + 2i \sin(\frac{k\pi}{n}) \cos(\frac{k\pi}{n})} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) [\cos(\frac{k\pi}{n}) + i \sin(\frac{k\pi}{n})]} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) e^{i \frac{k\pi}{n}}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) e^{-i \frac{k\pi}{n}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) (\cos(\frac{k\pi}{n}) - i \sin(\frac{k\pi}{n})) = \frac{1}{2} (-i \cot(\frac{k\pi}{n}) - 1)$। अतः, $\operatorname{Re}(z_k) = -\frac{1}{2}$ और $\operatorname{Im}(z_k) = -\frac{1}{2} \cot(\frac{k\pi}{n})$ है। योग $n-1$ मूलों पर है। इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cot^{-1}(|\cot(\frac{k\pi}{n})|) - 1}{-1} = \sum_{k=1}^{n-1} (1 - \frac{k\pi}{n}) = (n-1) - \frac{\pi}{n} \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)(1 - \frac{\pi}{2}) = \frac{n-1}{2}(2 - \pi)$।

$n > 1$ और $n \in N$ के लिए, यदि $z_1, z_2, \ldots, z_n$ समीकरण $(z+1)^n = z^n$ के मूल हैं, तो $\sum_{i=1}^{n-1} \frac{\cot^{-1}(2|\operatorname{Im} z_i|) - 1}{2 \operatorname{Re} z_i} = $

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